Umkehroperationen erweitern Zahlenräume


Das Abzählen von Gegenständen, 1, 2, 3 … dürfte eine der grundlegendsten Operationen sein, die Mensch und Mathematik verbindet. Sie führt zur Menge der natürlichen Zahlen, wobei gerne diskutiert wird, ob die Null noch dazu gehört oder nicht, weil man „kein Ding“ schlecht zählen kann, aber man die Tatsache, dass kein Ding da ist, doch ebenso benennen möchte wie ein, zwei oder auch 235 Dinge.

Ganz natürlich fügt sich zum Abzählen die Addition hinzu. Wenn man zwei Gruppen von Dingen zusammennimmt, dann kann die entstehende Gruppe in jedem Fall wieder abgezählt werden.

Anders jedoch die Subtraktion, die Umkehroperation der Addition. Aus real existierenden Gruppen von Dingen kann man höchstens so viele wegnehmen, wie vorher da waren. Für den Geist des Menschen ist das jedoch kein Hindernis, und die Frage, „wenn ich zwei Dinge habe, und fünf wegnehme, was bleibt dann übrig?“, ist problemlos formulierbar. Und die Antwort offenbar so drängend, dass man, anstatt zu entscheiden, „diese Frage ist nicht sinnvoll“, die negativen Zahlen erfunden hat.

Was ich daran interessant finde, ist es, dass die Subtraktion als Umkehroperation der Addition, die auf den ersten Blick harmlos erscheint, „was man dazu genommen hat, muss man doch auch wieder abziehen können“,  zu einem ganz neuen Zahlenbereich führt, den negativen Zahlen.

Das gleiche Phänomen lässt sich bei der Multiplikation beobachten. Multipliziert man zwei ganze Zahlen (gerne auch negative), dann ist das Ergebnis wieder eine ganze Zahl. Aber die Umkehroperation der Multiplikation, die Division, führt aus der Menge der ganzen Zahlen heraus, und öffnet die Welt der Brüche, von denen viele eben keine ganzen Zahlen sind.

Noch eine Erweiterung des Zahlenraums erhält man, wenn man die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst betrachtet, das Quadrieren, und die Umkehroperation dazu, das Wurzelziehen. Es gibt Wurzeln, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Wurzel aus 2 ist gleich schon die erste solche Zahl. Diese irrationalen Zahlen erweitern die Menge der Brüche und geben mit ihnen zusammen die Menge der reellen Zahlen.

Und, eine letzte Gemeinheit … wenn man jetzt die negativen Zahlen nimmt, und das Wurzelziehen dazu, dann kommt man zu dem Punkt, wo sich die Frage stellt, was ist die Wurzel aus -1? Dumm gelaufen, oder vielleicht auch genial, das ist keine reelle Zahl. Das lässt sich nicht mal mit Ziffern aufschreiben, und man hat dafür das Symbol i eingeführt, die Basis der imaginären Zahlen.

Kurioserweise fügen die Logarithmen als Umkehroperation der Potenzierung keinen neuen Zahlenraum zu den bereits genannten hinzu.

Für mich als Laie ergeben sich jetzt zwei Fragen – welche Operation und ihre Umkehrung öffnet uns den nächsten, noch nicht entdeckten Zahlenraum? Oder ist der vereinte Raum der reellen und imaginären Zahlen, der Raum der komplexen Zahlen, bereits der umfassendste Zahlenraum den es gibt?

Und wie kommt es, dass die einen Operationen, wie Addition, Multiplikation, Potenzierung, keine neuen Zahlenräume öffnen, deren Gegenstücke, die Subtraktion, Division und das Wurzelziehen aber schon?

Die Welt ist voller Wunder. Selbst wenn man bedenkt, dass wir die reale Welt schon mit den negativen Zahlen verlassen hatten …

 

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